初三培优系列2:2018广州中考第24题——不给图的数形结合题

先看一个动画，幂函数的

介绍一个ggb的小技巧，要使课件演示的时候，函数的名称能附着在图像上，方法如下：

还有其它小技巧，例如要修改ggb的字母变成斜体，只需在字母的属性的标题栏输入$%n%$即可。

还有其它小技巧在接下来的学习中继续分享给大家。

关于2018年中考数学题的研究，笔者在自己的博客（宁静数学工作室）上发表过几篇文章，在带完自己2019届的学生参加完2019年中考之后，再翻看自己写的东西，仍有一些感触。

例如判断：中档解答题题量和难度增大，考验学生作图能力，这个在2019年仍然是一样的。

半官方的试题评价是这样的：

本次（指2018年）命题依据考试大纲,着力体现新课标的理念，突出对学生基本数学素养的评价，既考查了四基——基础知识、基本技能、基本数学思想方法和基本活动经验，又突出课本核心内容,注意联系社会实际和学生生活实际，注重考查学生在具体情境中运用所学知识、技能去发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。既关注学生学习的结果，也重视学习的过程; 2018广州中考数学命题有利于培养学生的创新精神和实践能力，促进学生主动学习；有利于学生展示真实的数学学习水平和数学探究精神。

本次命题突出数学基本概念的考查，强化学生的作图分析能力。本次命题不设置偏题，确保了试题的科学性、公平性和严谨性。

整体评价

试卷难度稳定，选择填空问法变化较大，试题整体结构与近两年的广州中考相类似，但中档解答题题量和难度增大，更加注重知识交汇，要求学生具备计算能力、多个知识点灵活运用能力、分类讨论思想、作图能力等数学基本思想和能力，特别是对作图能力有了更高的要求。

2018的压轴题则回归到往年的模式，第24题考查了二次函数的含参问题及与圆的综合，但依旧没有附图。

第25题考查在四边形背景下，结合特殊三角形，探究线段的关系及动点的运动轨迹问题，今年两道压轴题还是要求学生具有较强的作图能力、参数运算能力。

2018年广州第25题可参看文章：（点击可打开）

今天来探讨2018年广州市中考数学第24题。

呈现原题：

分析1：考察数形结合思想的题目，出题者却在试卷上不给学生画图，为什么？意思其实很明显，让学生自己画图啊！

也就说，如果学生能自己根据题意画出相应的草图，解决的思路就可能有了！

分析2：第（1）其实学生的确可以不画图，用学生熟悉的判别式即可证明。

但是第二问开始，学生则必须自己画图了。

先看动态图：

当然考场上学生难以画出这样的效果，从而观察出于y轴的交点F（0,1）为定点。

学生也许只能画出这样的静态图：

那么如何观察出并证明出圆与y轴的交点F是一个定点呢？

如上图，对于初中学生而言，是不是很明显的可以看出一个“8”字型相似？

此题的秘密就在这里！

点B的坐标和点C的坐标刚好设计得有特点，即

看到了吗？OC/OB刚好是2:1，由相似得OA/OF也是2:1，

而OA为定值2，所以OF也是定值，这个定值为1.

即F（0,1）为定点。

当然还有其他的方法，只要涉及到直角三角形的相似，其实都可以用锐角三角函数来做。

如方法二：

方法三：熟悉解析几何的同学还可以用圆的方程来证明。

现在分析第（2）的第二小问：

如下图：

方法二：解析几何的方法：

【点评和反思】这一道题是十分漂亮而且难得的好题！所用的知识点比较多，方法多样！如一元二次方程根的判别式及应用，二次函数图像与坐标轴的交点问题，两点间的距离，勾股定理，圆周角定理，相似，锐角三角函数等等。

笔者在研究此题时，初学ggb，还不会用ggb画出如此精美的图形（当时只会几何画板）。后来经过深入学习，思考，实践，加上高手的指点（如华师大的肖建伟师弟），现在已经达到了写论文的水平，论文题目是《如何利用ggb画出数学试卷上的精美图形？》，但一直没有投稿。以后分享在公众号吧。